数学家们曾预测，假设对式样若何平铺空间施加足够的局部，他们不妨肯定显示周期性形式，但实情阐明不是如此。

　　自古往后，艺术家和几何学家们就念真切几何式样若何正在没有间隙或重叠的状况下铺满全数平面。然而用罗切斯特大学数学家 Alex Isoevich 的话来说——这个题目「直到比来才有所转机。」

　　最显明的瓷砖反复形式是：用正方形、三角形或六边形笼盖地板很容易。然而正在 1960 年代，数学家展现了一组奇妙的瓷砖，它们能够全体笼盖平面，但只可以永不反复的方法笼盖。

　　第一个如此的非反复或非周期性图案蕴涵一组 20426 个差别的瓷砖。数学家念真切他们是否能够下降这个数字。到 20 世纪 70 年代中期，英国科学家罗杰 · 彭罗斯（他自后因行使数学门径阐明黑洞是爱因斯坦广义相对论的直接结果而得到 2020 年诺贝尔物理学奖）阐明了一组方便的唯有两块瓷砖（被称为「鹞子」和「飞镖」）的筑设就足够了。

　　念铺出不反复的花样并不难，你能够安排很多反复或周期性的平铺以造成非反复的平铺。例如思虑一个无尽的正方形网格，像棋盘相似对齐。

　　假设搬动每一行，使其与其上方的行偏移差别的量，你将万世无法找到能够像图章相似剪切和粘贴以从新创筑完好平铺的区域。真正的诀窍是像彭罗斯那样，找到能够笼盖全数平面的瓷砖组，但只可以不反复的方法笼盖。

　　令人讶异的是，谜底是必然的——假设答允搬动、扭转和镜像瓷砖，就能找到一块吻合哀求的瓷砖。假设瓷并没有相接上，那么个中的间隙能够由其他合意扭转、合意反射的瓷砖副本填充，最终笼盖全数二维平面。

　　实情上，几年前数学家 Siddhartha Bhattacharya 阐明了——无论何等丰富或细化的瓷砖计划——假设只可行使单个瓷砖的移位或平移，那么就不不妨计划出非周期性地笼盖全数平面的瓷砖。

　　数学家 Bhattacharya 的二维猜念也合用于高维空间。这个假设被称为周期性平铺猜念，近似于不存正在非周期性二维瓷砖相似，数学家们也假设不存正在适宜的三维块或更大维度的状况。

　　上个月，Greenfeld 和加州大学洛杉矶分校华人数学家陶哲轩（Terence Tao）最终治理了这个猜念——但不是以数学家预期的方法。他们修建了一个能够非周期性填充高维空间但不行周期性填充的「瓷砖」，从而推倒了这个猜念。

　　克里特大学的数学家 Mihalis Kolountzakis 说：「我愿望这个猜念正在扫数维度上都是准确的，但我念正在足够高的维度上，状况不妨会不相似。”

　　本质上，这个瓷砖题目不但是个几何题目，它还与几为何表——逻辑自身极限的题目相闭。

　　2019 年，Greenfeld 以博士后推敲员的身份来到加州大学洛杉矶分校，她和陶哲轩两人都独立推敲了与平移拼接联系的题目。两位推敲者也将眼光投向了阐明周期性平铺猜念。

　　这个猜念正在一维和二维中的结果已广为人知，陶哲轩和 Greenfeld 试图正在三维的状况上阐明它：阐明假设你能够搬动一个三维式样来平铺全数三维空间，那么必然有一种门径能够周期性平铺空间。

　　他们赢得了极少转机——行使差别的门径正在二维中从新阐明了这个猜念——他们愿望新门径能够合用于三维状况。然而，他们碰钉子了。

　　陶哲轩说：「也许咱们无法正在更高维度上阐明这个猜念是有因由的。咱们该当起头寻找反例。」他们梳理了其他非周期性组织的文件，然后入手下手寻找非周期性的反例。

　　他们从调动处境起头。假设平铺一个二维空间，不要试图平铺一个连结的平面，思虑一个二维格子，一个罗列正在网格中的无尽点阵列。你现正在能够将图块界说为网格上的一组有限点，假设你有一个适宜的平铺，那么你能够通过复造有限的点集并将它们在在滑动来正好笼盖格子中的每个点一次。

　　阐明高维格子的「离散」周期性拼接猜念与阐明该猜念的连结版本略有差别，由于拼接正在格子中是不妨的，但正在连结空间中是不不妨的。但它们是联系的。Greenfeld 和陶哲轩念要提出一个离散的反例来阐明他们随后能够批改以正在连结状况下也合用的猜念。

　　他们从修建一种新讲话起头，起初将题目重写为一种额表的方程式。这个方程式中的未知「变量」，即必要治理的题目代表了平铺高维空间的扫数不妨方法。「但你很难用一个方程式来描画事物，」陶哲轩说。「有时你必要多个方程来描画一个十分丰富的空间会合。」

　　以是，Greenfeld 和陶哲轩从新修建了他们念要治理的题目。他们认识到能够转而计划一个方程组，个中每个方程都邑对其解编码差别的管束。这让他们能够将题目了解为一个闭于很多差别瓷砖的题目——正在个中，扫数瓷砖都行使统一组翻转笼盖给定空间。

　　比方，正在二维空间中你能够通过向上、向下、向左或向右滑动一个正方形来平摊平面，一次一个单元。其他式样也能够行使全体肖似的一组偏移来平摊平面：比方，一个正方形的右周围增加了一个突出，左周围被移除，就像拼图游戏相似。

　　假设你把一个正方形、一块拼图和其他行使统一组移位的瓷砖，像三明治中的冷盘相似把它们堆正在沿道，你就能够修建一个行使简单移位的瓷砖来笼盖 3D 空间。Greenfeld 和陶哲轩必要的是正在更多的维度上做这件事。

　　陶哲轩暗示：「因为咱们永远是正在高维度上推敲，多加一个维度并没有真正滞碍到咱们。」相反，这供应了出格的聪明性，以求得一个好的治理计划。

　　数学家们试图旋转这种夹层修建步调，将他们的单方程、高维平铺题目改写为一系列低维平铺方程。这些方程自后肯定了高维平铺的构造是什么样的。

　　Greenfeld 和陶哲轩以为他们的平铺方程体系是一个揣度机步调。每一行代码或方程都是一个下令，而下令的组合能够天生一个步调，实行一个特定的倾向。「逻辑电道是由十分基础的对象组成的，AND 门和 OR 门等等，」陶哲轩说。「每一个都不是很笑趣，然则你把它们堆正在沿道，就能够做出一个能够画正弦波或正在互联网上通讯的电道。」

　　「于是咱们起头把咱们的题目看作是一种编程题目，」他不绝说。他们的每一个下令都是一个差别的属性，而最终瓷砖必要餍足这些属性，于是动作一个具体的步调将保障任何吻合扫数圭臬的平铺必需优劣周期的。

　　那么题目来了，正在扫数这些平铺方程中编码什么样的属性，才具实行这一倾向？比方，夹层中的一个瓷砖的式样不妨只答允某些类型的搬动。数学家们必需战战兢兢地征战起管束清单，以避免局部到拂拭任何治理计划，但要足以局部到拂拭扫数周期性治理计划。

　　Greenfeld 说：「这里的博弈是修建准确的管束水准，瞄准确的困难举行编码。」

　　Greenfeld 和陶哲轩愿望用他们平铺方程编造的谜题是一个无尽多行和大批而有限数目的列构成的网格。数学家们试图用特定的数字序列填满每一行和对角线，这些数字序列与他们能够用平铺方程描画的管束类型相对应：他们将其比作一个庞杂的数独谜题。

　　然后，二人找到了非周期性的序列，意味着联系的平铺方程体系的治理计划也优劣周期性的。「这个谜题基础上唯有一个治理计划，它是个笑趣的东西，简直是但不全体是周期性的，」陶哲轩说。「咱们花了良多时刻才找到。」

　　「推敲简直是周期性但不全体是周期性的函数，是数学中平素存正在的东西，」不列颠哥伦比亚大学的数学家 Izabella Łaba 说。「但此次是一种十分差别的行使该类型组织的方法。」

　　正如 Iosevich 所说，Greenfeld 和陶哲轩缔造了一个全体低级的对象，并将事宜推到一个「看起来更丰富的状况」。

　　陶哲轩正正在用儿童玩具追求瓷砖的筑设，拍摄：Rachel Greenfeld。

　　正在流程中，他们修建了一个高维的非周期平铺，起初是正在离散处境中，然后是正在连结处境中。这种平铺是如斯丰富，充满迂回和裂缝以致于简直无法笼盖空间。「这是一个厌恶的平铺，」陶哲轩暗示。「咱们没有试图让它变得美丽。」

　　他和 Greenfeld 没有揣度它所处空间的维度，只真切它是庞杂的，不妨有 2 ^( 100^100) 那么大。「咱们的阐明是筑筑性的，于是总共都很清楚，并且能够揣度，」Greenfeld 说。「但由于它离最佳状况十分十分远，咱们没有检验它。」

　　实情上，数学家们以为他们能够正在更低的维度上找到非周期性平铺。这是由于他们的构造中，极少技巧性更强的一面涉及到正在额表空间中事业，这些空间正在观点上「十分亲昵于 2D」。Greenfeld 不以为他们会找到一个 3D 的瓷砖，但她说一个 4D 的瓷砖是可行的。

　　以是，Iosevich 说，他们不但仅是推倒了周期性平铺的猜念。「他们以最打倒的方法做到了这一点。」

　　这项事业记号着一种修建非周期性平铺的新门径，Greenfeld 和陶哲轩以为这种门径可用于推倒其他与平铺相闭的猜念。反过来，这不妨使数学家们进一步促使丰富性形成的范围。

　　「仿佛确实有一种新的法则，即高维几何学便是厌恶的，」陶哲轩暗示。「但咱们从 2D 和 3D 获得的直觉不妨会形成误导。」

　　这项事业不但涉及人類直覺的範圍題目，還涉及數學推理的範圍題目。正在 20 世紀 30 年代，數學家庫爾特 · 哥德爾（Kurt Gödel）證實，任何足以開展基礎算術的邏輯體系都是不完好的，即「哥德爾不齊備定理」。正在這個別系中，有些語句既不行被闡明也不行被駁倒。實情闡明，數學中充滿了「弗成鑒定」的語句。

　　同樣，這項事業也充滿了揣度上弗成鑒定的題目，任何算法都無法正在有限的時刻內治理的題目。數學家們正在 20 世紀 60 年代展現，閉于傾角的題目也能夠是弗成鑒定的。也便是說，對付某些式樣的會合，能夠闡明的是，正在有限的時刻內不不妨弄領會它們是否正在給定的空間內鋪設瓷磚。(法則上，如此做的獨一門徑是思慮掃數不妨的方法，將瓷磚鋪正在沿道，直到時刻終止）。

　　「這是一個十分方便的題目，但仍舊淩駕了數學的限度，」耶魯大學的數學家 Richard Kenyon 說。「這不是這種狀況的第一個例子，即某種數學表面是弗成鑒定的或不完好的，但它確實是最樸質的一個。」

　　舊年，Greenfeld 和陶哲軒展現，一個閉于高維瓷磚對的尋常定理是弗成鑒定的。他們闡明，沒有人或許弄領會某些成對的瓷磚是否或許全體籠蓋它們所正在的空間（無論是周期性的還優劣周期性的）。

　　閉于單個瓷磚的定理是否也是弗成鑒定的？自 20 世紀 60 年代往後，人們真切，假設周期性平鋪猜念是真的，那麽老是有不妨確定任何給定的瓷磚是否能夠籠蓋平面。

　　但相反的狀況不必然是真的。僅僅由于一個非周期性平鋪存正在，這並不料味著一個弗成鑒定的平鋪也存正在。

　　這便是 Greenfeld 和陶哲軒接下來念要弄領會的事宜——若何使用他們爲這項結果所拓荒的極少技巧。陶哲軒說：「咱們締造的講話該當或許締造出一個弗成鑒定的謎題，這優劣常合理的。以是，不妨對付極少瓷磚，咱們將萬世無法闡明它是平鋪空間還優劣平鋪空間。」

　　爲了闡明一個語句是弗成鑒定的，數學家時時證實它等同于另一個曾經真切是弗成鑒定的題目。以是，假設這個平鋪題目被闡明也是弗成鉴定的，它就能够动作阐明其他靠山下的弗成鉴定性的又一个器械，这些靠山远远凌驾了闭于若何平铺空间的题目。

　　同时，Greenfeld 和陶哲轩的这项事业也是一种警示。Iosevich 说：「数学家们爱好美丽、明净的定理。但你不要自信听到的总共。不幸的是，数学中扫数笑趣的语句未必都是美丽的，并且它们不必然遵守咱们愿望的方法运转。」

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